「角形直角」如何证明黄金分割点(怎样证明黄金分割点)

互联网 2023-01-31 15:59:12

最近很多人在问「角形直角」如何证明黄金分割点(怎样证明黄金分割点),今天神州网就「角形直角」如何证明黄金分割点(怎样证明黄金分割点)展开分析。

这是一道中考数学与黄金分割有关的压轴题,通常在中考数学中很少见到黄金分割的问题,别说压轴题了,就是普通的小题,也是难得一见的。所以这道题特别引起老黄的注意。题目是这样的:

正方形ABCD ,点M为边AB的中点.

(1)如图1, 点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90度,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. 求证:①BE=CF;②BE^2=BC·CE.

(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE^2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.

分析:(1)①很明显要通过全等三角形证明对应边相等。观察两条线段所在的三角形,它们分别在直角三角形ABE和直角三角形BEG中,凑一凑全等的条件。在正方形中,有边AB=CB,内角都是直角,所以∠ABE=∠BCF=90度.

在直角三角形ABE和直角三角形BEG中,两组锐角都互余,关键这两组互余的锐角有一个公共角AEB,因此另外两个角相等,即∠BAE=∠CBF,这是等角等余定理的应用。

这就构成了两个三角形“角边角”的全等条件,因此它们的对应边BE=CF。

②显然要利用有公共边的相似三角形的边的关系。然而BE做为公共边的相似三角形是直角三角形ABE和直角三角形BGE,它们是推不出这个关系的。因此BE要转换,转换成CF也解决不了。通过观察,如果能够证明三角形CEG和三角形CGB相似,且CG等于BE,那么就可以得到要证明的结论。

首先,由于M是直角三角形ABG斜边AB的中点,所以中线GM等于斜边的一半,也就等于AM。由等边对等角,就有角GAM等于角AGM。而角AGM等于角CBG,它们是全等三角形的对应角。

所以角CGF等于它的对顶角BGM,而角BGM又等于角CFG,因为它们分别是角AGM和角CBG的余角,即等角等余定理的应用。

根据等角对等边,就有CG=CF。而CF又等于BE,从而CG就等于BE。

另一方面,角CGE和角AGM是对顶角,从而角CGE也等于角CBG。这就构成了相似三角形的“两组内角相等”的条件。由相似三角形的边成比例的关系,就可以推出CG^2=BE^2=BC·CE.

(2)这个角的正切值很好表示出来,就是CF/BC. 很明显的,只要能证明BE等于CF,就可以得到答案。因为点E其实就是BC靠近端点C的黄金分割点,这个比值是可求的。甚至是可以直接写出来的。

将CE=BC-BE代入BE^2=BC·CE,可以得到关于BE的二次方程,运用求根公式,就可以得到BE关于BC的表达式,也就是得到它们的比值。

接下来证明BE=CF,这无疑是第一小题的一个逆过程。然而直接反推,并不能实现,那应该怎么办呢?只要我们能够证明∠AGB=90度,由(1)就可以直接得到BE=CF。

为此,我们过G作AB的垂线段GN,则直角三角形GMN和直角三角形CMB相似。再结合平行线截取线段成比例的关系,可以得到两组线段(边)的比例关系,从而转换出MN,GN关于BC的表达式。再运用勾股定理,就可以得到GM=BC/2,从而证明∠AGB=90度,问题就解决了。下面组织解题过程:

(1)证明:在正方形ABCD中,AB=CB,∠ABE=∠BCF=90度,

在Rt△ABE中,∠BAE+∠AEB=90度,

∵∠AGB=90度,∴在Rt△BEG中,∠CBF+∠AEB=90度,

∴∠BAE=∠CBF,∴Rt△ABE≌Rt△BCF(ASA),

①∴BE=CF.

②在Rt△ABG中,点M是AB的中点,

∴GM=AB/2=AM, ∴∠GAM=∠AGM=∠CBG,

∴∠CGF=∠BGM=∠CFG(等角等余), ∴ CG=CF=BE,

又∠CGE=∠AGM=∠CBG, ∴△CGE∽△CBG,

∴CG/CB=CE/CG,即CG^2=BE^2=BC·CE.

(2)解:由BE^2=BC·CE, 有BE^2=BC·(BC-BE),

从而BE^2+BC·BE-BC^2=0, 解得:BE=(根号5-1)BC/2(舍去负值),

过G作GN⊥AB于点N, 则Rt△GMN∽Rt△CMB,

GN/MN=CB/MB=AB/MB=2,

又GN/BE=AN/AB, 即4MN/((根号5-1)BC)=(AB/2+MN)/AB=1/2+MN/BC,

解得MN=根号5 BC/10, GN=2倍根号5 BC/10,

MG=根号(MN^2+GN^2)=BC/2=AB/2, ∴∠AGB=90度,由(1)有BE=CF,

∴tan∠CBF=CF/BC=BE/BC=(根号5-1)/2.

第二小题还有另一种解法。这种方法不是很常规,但特别简便,大家可以看看这样解是否合理。它运用的是反证法,初中阶段,也已经学过反证法了。

(2)解:由BE^2=BC·CE知, E点是BC靠近点C的黄金分割点,

若∠AGB≠90, 则由(1)可知,存在E’满足BE’^2=BC·CE’,

即E’点也是BC靠近点C的黄金分割点, 矛盾!

∴∠AGB=90度, 由(1)有BE=CF,∴tan∠CBF=CF/BC=BE/BC=(根号5-1)/2.

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