「黄金分割线段」黄金分割点定义(黄金分割点的定义)

互联网 2023-01-31 15:49:49

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【来源】四川省巴中市2021年中考数学真题

两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割,即:如图,点P是线段AB上一点(AP>BP),若满足

,则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见,例如:主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长20米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则x满足的方程是(  )

A.

=B.

C.

﹣= D.以上都不对

【答案】A

【解析】

1) 根据题意理解黄金分割点

● 点P在线段AB上满足

(AP>BP)(较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比),则P是AB的黄金分割点;

● 反之,若P是AB的黄金分割点,则满足

2) 根据黄金分割点的性质列方程求解

● 由题意可知,至少走x米,为黄金分割中较小部分,黄金分割中较大部分则为(20-x)米;

● 根据黄金分割的比例式可列方程

,即

=.

【延伸】

欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点G将一线段MN分为两线段MG、GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项,即满足

,后人把

这个数称为“黄金分割”数,把点G称为线段MN的“黄金分割”点.如图,在△ABC中,已知AB=AC=3,BC=4,若D,E是边BC的两个“黄金分割”点,则△ADE的面积为多少?

求解过程如下:

如下图所示,作AF⊥BC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长,再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度,得到△ADE中DE的长,最后利用三角形面积公式求解.